Trigonometría Ejemplos

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ , $0 < x < 2 π$

Step 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Step 2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Step 3

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Step 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Step 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Step 6

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Step 7

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Reescribe la expresión.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 (π + \frac{π}{4})$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Simplifica los términos.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Step 8

Obtén el período de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 2$

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π$

Step 9

El período de la función $\tan (\frac{x}{2})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{π}{2}$

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$