Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 x) \cos (x) - \sin (x) = 0$ , $[0, 2 π]$

Step 1

Simplifica cada término.

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Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Multiplica $2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) = 0$

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Step 2

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$ .

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Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Step 4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $2 \cos^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \cos^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Resuelve $2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (x) = 1$

Divide cada término en $2 \cos^{2} (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos^{2} (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Simplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π]$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $0$ en $n$ .

$π (0)$

Multiplica $π$ por $0$ .

$0$

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $0$ .

$x = 0$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (0)}{2}$

Simplifica.

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Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $π (0)$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 (1)}$

Cancela el factor común.

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot (0)}{1}$

Divide $π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot (0)$

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{π}{4}$

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{π}{4}$ .

$x = 0, \frac{π}{4}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (1)}{2}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Suma $π$ y $2 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{3 π}{4}$ .

$x = 0, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $1$ en $n$ .

$π (1)$

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $π$ .

$x = 0, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, π$

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $2$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (2)}{2}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Suma $π$ y $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{5 π}{4}$ .

$x = 0, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, π, \frac{5 π}{4}$

Inserta $3$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $3$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (3)}{2}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2}$

Para escribir $\frac{3 π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 3 π \cdot 2}{4}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{π + 6 π}{4}$

Suma $π$ y $6 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{7 π}{4}$ .

$x = 0, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, π, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $2$ en $n$ .

$π (2)$

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 π$

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $2 π$ .

$x = 0, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, π, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, 2 π$