Trigonometría Ejemplos

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $4 y^{2} - 8 y$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{4}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Paso 1.2

Sustituye $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} - 8 y$ en la ecuación $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Paso 1.3

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Paso 1.4

Completa el cuadrado de $- 25 x^{2} + 100 x$ .

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Paso 1.4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Paso 1.4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Paso 1.4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.4.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Paso 1.4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{50}{- 25}$

Paso 1.4.3.2.2

Cancela el factor común de $50$ y $- 25$ .

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Paso 1.4.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Paso 1.4.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 1.4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 1.4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.4.2.1.1

Eleva $100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Paso 1.4.4.2.1.3

Divide $10000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Paso 1.4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Paso 1.4.4.2.2

Suma $0$ y $100$ .

$e = 100$

Paso 1.4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Paso 1.5

Sustituye $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ por $- 25 x^{2} + 100 x$ en la ecuación $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Paso 1.6

Mueve $100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Paso 1.7

Simplifica $196 + 4 - 100$ .

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Paso 1.7.1

Suma $196$ y $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Paso 1.7.2

Resta $100$ de $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Paso 1.8

Divide cada término por $100$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Paso 1.9

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Paso 5.2

Simplifica $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Paso 5.2.1.3

Combina $\frac{5}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Paso 5.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Paso 5.2.2

Suma $- 5$ y $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Paso 6.2

Simplifica $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Paso 6.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Paso 6.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Paso 6.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Paso 6.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Paso 6.2.1.6

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Paso 6.2.2

Suma $5$ y $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Paso 8

Las asíntotas son $y = \frac{5 x}{2} - 4$ y $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Asíntotas: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Paso 9