Trigonometría Ejemplos

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $2 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 2

Reemplaza $4 \sin^{2} (x)$ con $4 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 3

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 4

Resta $1$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

Step 5

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Step 6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 7

Sustituye los valores $a = - 4$ , $b = - 2$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

Step 8

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Multiplica $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Multiplica $16$ por $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

Suma $4$ y $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

Reescribe $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

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Factoriza $4$ de $52$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Step 9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Step 10

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Step 11

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Step 12

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ .

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El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 13

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Resuelve $x$

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Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Simplifica $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

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Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

Resta $0.86138422$ de $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$