Trigonometría Ejemplos

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Paso 1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Paso 2

Simplifica $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $- 4 \cos (2 x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Paso 2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Paso 2.1.3

Agrega paréntesis.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Paso 3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Paso 3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Paso 4

Establece el radicando en $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Paso 5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Divide cada término de $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.1.2.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Paso 5.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x \leq \arccos (0)$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 x \leq \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 x \leq \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.4.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Paso 5.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.6

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.6.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.6.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.6.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.6.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 5.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 5.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 5.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.6.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 5.6.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 5.7

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 5.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 5.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 5.7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.8

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Paso 5.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.11.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 5.11.1.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Paso 5.11.1.3

$0.65364362$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.11.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Paso 5.11.2.3

$- 0.96017028$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.11.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Verdadero

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Verdadero

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

Paso 5.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Paso 7