Trigonometría Ejemplos

$\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$

Step 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ . Por lo tanto, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$ es $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$

Step 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 5

Simplifica.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Reescribe $\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ en forma factorizada.

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Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 6

Combina fracciones.

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Multiplica $\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ por $\frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x \cdot x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Multiplica $x$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 7

Expande $(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 8

Simplifica los términos.

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Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ .

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Reordena los factores en los términos $x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ y $\sqrt{(x + 3) (x - 3)} x$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Suma $- x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ y $x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Multiplica $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

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Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Reescribe ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ como $(x + 3) (x - 3)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ como ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Simplifica.

$\sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 3) (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 3) + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 9)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} - - 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Simplifica mediante la adición de términos.

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Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Simplifica la expresión.

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Suma $0$ y $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 9

Reescribe $\frac{3^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{3}{x})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 11

Simplifica los términos.

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Combinar.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Cancela el factor común de $x$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Step 12

Simplifica el denominador.

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Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Step 13

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Step 14

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ como $(x + 3) (x - 3)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ como ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{1}}$

Simplifica.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{(x + 3) (x - 3)}$