Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 2.4

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 2.5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Paso 2.6

Consolida las soluciones.

$\sin (x) = - 1, 1$

Paso 2.7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Paso 2.8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 2.8.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.8.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.8.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.8.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.8.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 2.8.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.6.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.8.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.8.6.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.8.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.8.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.8.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Resuelve $x$ en $\sin (x) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 2.9.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.9.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 2.9.4

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.9.4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.9.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.9.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 2.9.4.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.9.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.9.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.10

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.12

Obtén el dominio de $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Establece el denominador en $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - \sin (x) = 0$

Paso 2.12.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 2.12.2.2

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.2.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.12.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.12.2.2.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.12.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 2.12.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 2.12.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.12.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 2.12.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.12.2.6.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.12.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.12.2.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 2.12.2.6.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.12.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.12.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.12.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.12.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.12.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.12.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Paso 2.14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.14.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.14.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 2.14.1.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

Paso 2.14.1.3

$1.32861403$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.14.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.14.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.14.2.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

Paso 2.14.2.3

$0.56321382$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.14.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadero

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadero

Paso 2.15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ o $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.16

Combina los intervalos.

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - \sin (x) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 4.2

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 4.6

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.6.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 4.6.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6