Trigonometría Ejemplos

$\cos (- \frac{π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Step 1

Simplifica cada término.

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Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Combina $\cos (\frac{13 π}{7})$ y $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el primer cuadrante.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Combina $\sin (\frac{π}{7})$ y $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Step 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Step 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Forma decimal:

$0.99842681 \dots$