Trigonometría Ejemplos

$\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$

Step 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{5}{x})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{5}{x})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{5}{x})$ . Por lo tanto, $\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Step 2

Simplifica el denominador.

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Aplica la regla del producto a $\frac{5}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{5^{2}}{x^{2}}}}$

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{25}{x^{2}}}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{25}{x^{2}}}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}}}$

Reescribe $\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x^{2} + 25$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2}}}}$

Factoriza la potencia perfecta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}}}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)}}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sqrt{x^{2} + 25}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{x}}$

Step 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Step 4

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Step 5

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Step 6

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Eleva $\sqrt{x^{2} + 25}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Eleva $\sqrt{x^{2} + 25}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 25}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}$ como $x^{2} + 25$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 25}$ como ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{1}}$

Simplifica.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{x^{2} + 25}$