Trigonometría Ejemplos

$\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$

Step 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $arccsc (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Por lo tanto, $\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$

Step 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} \frac{2}{x}$

Step 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} \frac{2}{x}$

Step 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Step 5

Combina en una fracción.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Step 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} \frac{2}{x}$

Step 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} \frac{2}{x}$

Step 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} \frac{2}{x}$

Step 9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} \frac{2}{x}$

Step 10

Multiplica $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

Step 11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} \frac{2}{x}$

Step 12

Reescribe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} \frac{2}{x}$

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} \frac{2}{x}$

Step 13

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{2}{x}$

Step 14

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Step 15

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{1}{x}$

Step 16

Combina $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$