Trigonometría Ejemplos

$\sin (\frac{π}{8}) \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Step 1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el primer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{8})$

Step 2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Step 3

Multiplica $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Expande $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Resta $2 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Step 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.35355339 \dots$