Trigonometría Ejemplos

$\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i}$

Paso 1

Multiplica $\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i}$ por $\frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i}$ .

$\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i} \cdot \frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i}$ por $\frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)}{(1 - \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)}{1 + \sqrt{3} i - \sqrt{3} i - {\sqrt{3}}^{2} i^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)}{4}$

Paso 3

Expande $(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3} i) + i (1 + \sqrt{3} i)}{4}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + i (1 + \sqrt{3} i)}{4}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + i \cdot 1 + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 (\sqrt{3} i) + i \cdot 1 + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Paso 4.1.2

Multiplica $\sqrt{3} i$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i \cdot 1 + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Paso 4.1.3

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Paso 4.1.4

Multiplica $i (\sqrt{3} i)$ .

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Paso 4.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{1} i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{1} i^{1} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{1 + 1} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{2} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i - 1 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.6

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i - \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.2.1

Reordena $1 + \sqrt{3} i + i$ y $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} i + i}{4}$

Paso 4.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- (\sqrt{3}) + 1 + \sqrt{3} i + i}{4}$

Paso 4.2.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- 1) + \sqrt{3} i + i}{4}$

Paso 4.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1) + \sqrt{3} i + i}{4}$

Paso 4.2.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{3} i$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1) - (- \sqrt{3} i) + i}{4}$

Paso 4.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3} - 1) - (- \sqrt{3} i)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i) + i}{4}$

Paso 4.2.7

Factoriza $- 1$ de $i$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i) - 1 (- i)}{4}$

Paso 4.2.8

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i) - 1 (- i)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)}{4}$

Paso 4.2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.9.1

Reescribe $- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)$ como $- 1 (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)}{4}$

Paso 4.2.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i}{4}$