Trigonometría Ejemplos

$\frac{\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 9 y - 18}}{\frac{2 y^{2} + y - 3}{y^{2} + 5 y - 6}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{{(2 y)}^{2} - 9}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 y$ y $b = 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 9 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 18 = - 36$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $9$ de $9 y$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 9 (y) - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 3.1.2

Reescribe $9$ como $- 3$ más $12$

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + (- 3 + 12) y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} - 3 y + 12 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y^{2} - 3 y) + 12 y - 18} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{y (2 y - 3) + 6 (2 y - 3)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2 y - 3$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 5

Factoriza $y^{2} + 5 y - 6$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $5$ .

$- 1, 6$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} + y - 3}$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 6.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} + 1 y - 3}$

Paso 6.1.2

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} + (- 2 + 3) y - 3}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y^{2} - 2 y + 3 y - 3}$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(2 y^{2} - 2 y) + 3 y - 3}$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{2 y (y - 1) + 3 (y - 1)}$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y - 1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(y - 1) (2 y + 3)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $2 y + 3$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2 y + 3$ de $(y - 1) (2 y + 3)$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 y + 3}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 6} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{y - 1}$

Paso 8

Cancela el factor común de $y + 6$ .

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Paso 8.1

Factoriza $y + 6$ de $(y - 1) (y + 6)$ .

$\frac{1}{y + 6} \cdot \frac{(y + 6) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 6} \cdot \frac{(y + 6) (y - 1)}{y - 1}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Paso 9

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$1$