Trigonometría Ejemplos

$\log ({(81)}^{y}) < \log ({(27)}^{y + 3})$

Step 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (81^{y}) = \log (27^{y + 3})$

Step 2

Resuelve la ecuación.

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Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\log (81^{y})) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Expande $\log (81^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$\ln (y \log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Reescribe $\ln (y \log (81))$ como $\ln (y) + \ln (\log (81))$ .

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Expande $\log (27^{y + 3})$ ; para ello, mueve $y + 3$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Reescribe $\ln ((y + 3) \log (27))$ como $\ln (y + 3) + \ln (\log (27))$ .

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Simplifica el lado derecho.

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Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + 3 \log (27))$

Simplifica $3 \log (27)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + \log (27^{3}))$

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$y \log (81) = y \log (27) + \log (27^{3})$

Resuelve $y$

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Simplifica el lado derecho.

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Eleva $27$ a la potencia de $3$ .

$y \log (81) = y \log (27) + \log (19683)$

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \log (81) - y \log (27) - \log (19683) = 0$

Suma $\log (19683)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \log (81) - y \log (27) = \log (19683)$

Factoriza $y$ de $y \log (81) - y \log (27)$ .

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Factoriza $y$ de $y \log (81)$ .

$y (\log (81)) - y \log (27) = \log (19683)$

Factoriza $y$ de $- y \log (27)$ .

$y (\log (81)) + y (- 1 \log (27)) = \log (19683)$

Factoriza $y$ de $y (\log (81)) + y (- 1 \log (27))$ .

$y (\log (81) - 1 \log (27)) = \log (19683)$

Reescribe $- 1 \log (27)$ como $- \log (27)$ .

$y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$

Divide cada término en $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ por $\log (81) - \log (27)$ y simplifica.

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Divide cada término en $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ por $\log (81) - \log (27)$ .

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\log (81) - \log (27)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Step 3

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Step 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)})$

Step 5