Trigonometría Ejemplos

$\cot (3 x) < 0$

Step 1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$3 x < arccot (0)$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$3 x < \frac{π}{2}$

Step 3

Divide cada término en $3 x < \frac{π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x < \frac{π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

Multiplica $2$ por $3$ .

$x < \frac{π}{6}$

Step 4

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

Step 5

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Suma $π \cdot 2$ y $π$ .

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Reordena $π$ y $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Suma $2 \cdot π$ y $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Divide cada término en $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Factoriza $3$ de $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Step 6

Obtén el período de $\cot (3 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 3 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{π}{3}$

Step 7

El período de la función $\cot (3 x)$ es $\frac{π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Obtén el dominio de $\cot (3 x)$ .

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Establece el argumento en $\cot (3 x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Divide cada término en $3 x = π n$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = π n$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π n}{3}$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

Step 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.26$

Reemplaza $x$ con $0.26$ en la desigualdad original.

$\cot (3 (0.26)) < 0$

$1.01085502$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\cot (3 (1)) < 0$

$- 7.01525255$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.31$

Reemplaza $x$ con $1.31$ en la desigualdad original.

$\cot (3 (1.31)) < 0$

$0.99399967$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < \frac{π}{6}$ Falso

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{6}$ Falso

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

Step 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 13