Trigonometría Ejemplos

$\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (5 x (x - 2)) = 2$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2) = 2$

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Mueve $x$ .

$\log (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2) = 2$

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (5 x^{2} + 5 x \cdot - 2) = 2$

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$

Step 2

Reescribe $\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 5 x^{2} - 10 x$

Step 3

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$ .

$5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$5 x^{2} - 10 x = 100$

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} - 10 x - 100 = 0$

Factoriza $5$ de $5 x^{2} - 10 x - 100$ .

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Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$5 (x^{2}) - 10 x - 100 = 0$

Factoriza $5$ de $- 10 x$ .

$5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) - 100 = 0$

Factoriza $5$ de $- 100$ .

$5 x^{2} + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 5 (- 2 x)$ .

$5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Factoriza $5$ de $5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20$ .

$5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$

Divide cada término en $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ por $5$ y simplifica.

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Divide cada término en $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $5$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Divide $x^{2} - 2 x - 20$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = \frac{0}{5}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $5$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 20$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{2 \cdot 1}$

Suma $4$ y $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{21}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{21}, 1 - \sqrt{21}$

Step 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$ sea verdadera.

$x = 1 + \sqrt{21}$

Step 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 1 + \sqrt{21}$

Forma decimal:

$x = 5.58257569 \dots$