Trigonometría Ejemplos

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Step 1

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Step 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1, 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Step 3

Multiplica cada término en $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Cancela el factor común de $u$ .

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Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Reescribe la expresión.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $u$ por $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Step 4

Resuelve la desigualdad.

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Reescribe para que $u$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Resta $u^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Reordena los términos.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Establece $- u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $- u + 1$ igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

Resuelve $- u + 1 = 0$ en $u$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- u = - 1$

Divide cada término en $- u = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- u = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $- 1$ por $- 1$ .

$u = 1$

Establece $u - \sqrt{3}$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u - \sqrt{3}$ igual a $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Suma $\sqrt{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$u = \sqrt{3}$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ verdadera.

$u = 1, \sqrt{3}$

Step 5

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Step 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Step 7

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 1$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Resuelve $x$ en $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Simplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Suma $3 π$ y $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{π}{3} + π n$ y $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Obtén el dominio de $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

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Establece el argumento en $\tan (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Establece el argumento en $\cot (x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Step 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

$2.66954475$ del lado izquierdo es menor que $2.7320508$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

$- 2.97772599$ del lado izquierdo es menor que $2.7320508$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

$2.65377824$ del lado izquierdo es menor que $2.7320508$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadero

Step 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Step 15

Combina los intervalos.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 16