Trigonometría Ejemplos

$\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$

Step 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{5}{x})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ . Por lo tanto, $\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$ es $\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Step 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Step 3

Combina fracciones.

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Combinar.

$\frac{5 \cdot 1}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Simplifica.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{5}{x \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (1 - \frac{5}{x})}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}}$

Multiplica $\frac{x + 5}{x}$ por $\frac{x - 5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}}$

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}}$

Reescribe $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}$

Factoriza la potencia perfecta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5}{x (\frac{1}{x} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}$

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{5}{x \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Step 5

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ .

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Step 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Reduce la expresión $\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Cancela el factor común.

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{1}}$

Divide $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ por $1$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Step 7

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Step 8

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Eleva $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Eleva $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ como $(x + 5) (x - 5)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ como ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{1}}$

Simplifica.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{(x + 5) (x - 5)}$