Trigonometría Ejemplos

$\tan (\arcsin (2 x))$

Step 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (2 x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ . Por lo tanto, $\tan (\arcsin (2 x))$ es $\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$

Step 2

Simplifica el denominador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 2 x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Step 3

Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Step 4

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Eleva $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Eleva $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ como $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ como ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Simplifica.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$