Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (2 x) = 3 \cos^{2} (2 x)$

Step 1

Resta $3 \cos^{2} (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (2 x) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Step 2

Reemplaza $\sin^{2} (2 x)$ con $1 - \cos^{2} (2 x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (2 x)) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Step 3

Resta $3 \cos^{2} (2 x)$ de $- \cos^{2} (2 x)$ .

$1 - 4 \cos^{2} (2 x) = 0$

Step 4

Reordena el polinomio.

$- 4 \cos^{2} (2 x) + 1 = 0$

Step 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$

Step 6

Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Divide $\cos^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 4}$

Simplifica el lado derecho.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Step 7

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Step 8

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Step 9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Step 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 11

Resuelve $x$ en $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{3}$

Divide cada término en $2 x = \frac{5 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{5 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Resuelve $x$ en $\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Divide cada término en $2 x = \frac{2 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{2 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Divide cada término en $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{4 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{6} + π n$ y $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{5 π}{6} + π n$ y $\frac{π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$