Trigonometría Ejemplos

${(- 3 + 3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${(- 3)}^{5} + 5 {(- 3)}^{4} (3 i \sqrt{3}) + 10 {(- 3)}^{3} {(3 i \sqrt{3})}^{2} + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$- 243 + 5 {(- 3)}^{4} (3 i \sqrt{3}) + 10 {(- 3)}^{3} {(3 i \sqrt{3})}^{2} + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$- 243 + 5 \cdot 81 (3 i \sqrt{3}) + 10 {(- 3)}^{3} {(3 i \sqrt{3})}^{2} + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.3

Multiplica $5$ por $81$ .

$- 243 + 405 (3 i \sqrt{3}) + 10 {(- 3)}^{3} {(3 i \sqrt{3})}^{2} + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $405$ .

$- 243 + 1215 (i \sqrt{3}) + 10 {(- 3)}^{3} {(3 i \sqrt{3})}^{2} + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 10 \cdot - 27 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.6

Multiplica $10$ por $- 27$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $3 i \sqrt{3}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 ({(3 i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (3^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (9 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (9 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.10

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (- 9 {\sqrt{3}}^{2}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.11

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (- 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (- 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (- 9 \cdot 3^{1}) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.11.5

Evalúa el exponente.

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 (- 9 \cdot 3) + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.12

Multiplica $- 270 (- 9 \cdot 3)$ .

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Paso 2.1.12.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} - 270 \cdot - 27 + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.12.2

Multiplica $- 270$ por $- 27$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 10 {(- 3)}^{2} {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.13

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 10 \cdot 9 {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.14

Multiplica $10$ por $9$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 {(3 i \sqrt{3})}^{3} + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.15

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.15.1

Aplica la regla del producto a $3 i \sqrt{3}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 ({(3 i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.15.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (3^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.16

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (27 i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.17

Factoriza $i^{2}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (27 (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.18

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (27 (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.19

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (27 (- i) {\sqrt{3}}^{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.20

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (- 27 i {\sqrt{3}}^{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.21

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (- 27 i \sqrt{3^{3}}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.22

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (- 27 i \sqrt{27}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.23

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.23.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (- 27 i \sqrt{9 (3)}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.23.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (- 27 i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.24

Retira los términos de abajo del radical.

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (- 27 i (3 \sqrt{3})) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.25

Multiplica $3$ por $- 27$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 + 90 (- 81 i \sqrt{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.26

Multiplica $- 81$ por $90$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 (i \sqrt{3}) + 5 \cdot - 3 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.27

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 {(3 i \sqrt{3})}^{4} + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.28

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.28.1

Aplica la regla del producto a $3 i \sqrt{3}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 ({(3 i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.28.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (3^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.29

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.30

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.30.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.30.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 1 {\sqrt{3}}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.31

Multiplica $81$ por $1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 {\sqrt{3}}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 2.1.32.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 3^{\frac{4}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.32.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.32.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32.4.2.2

Cancela el factor común.

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 3^{\frac{2}{1}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.32.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 3^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.33

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 (81 \cdot 9) + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.34

Multiplica $- 15 (81 \cdot 9)$ .

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Paso 2.1.34.1

Multiplica $81$ por $9$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 15 \cdot 729 + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.34.2

Multiplica $- 15$ por $729$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + {(3 i \sqrt{3})}^{5}$

Paso 2.1.35

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.35.1

Aplica la regla del producto a $3 i \sqrt{3}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + {(3 i)}^{5} {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.35.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 3^{5} i^{5} {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.36

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 i^{5} {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.37

Factoriza $i^{4}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 (i^{4} i) {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.38

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.38.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 ({(i^{2})}^{2} i) {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.38.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 ({(- 1)}^{2} i) {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.38.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 (1 i) {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.39

Multiplica $i$ por $1$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 i {\sqrt{3}}^{5}$

Paso 2.1.40

Reescribe ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 i \sqrt{3^{5}}$

Paso 2.1.41

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 i \sqrt{243}$

Paso 2.1.42

Reescribe $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.42.1

Factoriza $81$ de $243$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 i \sqrt{81 (3)}$

Paso 2.1.42.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 i \sqrt{9^{2} \cdot 3}$

Paso 2.1.43

Retira los términos de abajo del radical.

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 243 i (9 \sqrt{3})$

Paso 2.1.44

Multiplica $9$ por $243$ .

$- 243 + 1215 i \sqrt{3} + 7290 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 2187 i \sqrt{3}$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Suma $- 243$ y $7290$ .

$1215 i \sqrt{3} + 7047 - 7290 i \sqrt{3} - 10935 + 2187 i \sqrt{3}$

Paso 2.2.2

Resta $7290 i \sqrt{3}$ de $1215 i \sqrt{3}$ .

$- 6075 i \sqrt{3} + 7047 - 10935 + 2187 i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3

Suma $- 6075 i \sqrt{3}$ y $2187 i \sqrt{3}$ .

$- 3888 i \sqrt{3} + 7047 - 10935$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Resta $10935$ de $7047$ .

$- 3888 i \sqrt{3} - 3888$

Paso 2.2.4.2

Reordena $- 3888 i \sqrt{3}$ y $- 3888$ .

$- 3888 - 3888 i \sqrt{3}$