Trigonometría Ejemplos

${(\sqrt{3} - i)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$3^{2} + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.5

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.7

Multiplica $3$ por $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} (- i) + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.8

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.9

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.9.5

Evalúa el exponente.

$9 - 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.10

Multiplica $6$ por $3$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 {(- i)}^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.11

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 (1 i^{2}) + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.13

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.14

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.15

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.16

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} ({(- 1)}^{3} i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.17

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.18

Factoriza $i^{2}$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.19

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.20

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- - i) + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.21

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (1 i) + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.22

Multiplica $i$ por $1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(- i)}^{4}$

Paso 2.1.23

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} i^{4}$

Paso 2.1.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + 1 i^{4}$

Paso 2.1.25

Multiplica $i^{4}$ por $1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Paso 2.1.26

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.26.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Paso 2.1.26.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Paso 2.1.26.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 - 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i + 1$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $18$ de $9$ .

$- 12 \sqrt{3} i - 9 + 4 \sqrt{3} i + 1$

Paso 2.2.2

Suma $- 12 \sqrt{3} i$ y $4 \sqrt{3} i$ .

$- 8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Suma $- 9$ y $1$ .

$- 8 \sqrt{3} i - 8$

Paso 2.2.3.2

Reordena $- 8 \sqrt{3} i$ y $- 8$ .

$- 8 - 8 \sqrt{3} i$