Trigonometría Ejemplos

$\sin (\arctan (\frac{x}{3}))$

Step 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{x}{3})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{x}{3})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{x}{3})$ . Por lo tanto, $\sin (\arctan (\frac{x}{3}))$ es $\frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Step 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Step 3

Combina fracciones.

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Combinar.

$\frac{x \cdot 1}{3 \sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Aplica la regla del producto a $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}}$

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}}}$

Reescribe $\frac{9 + x^{2}}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $9 + x^{2}$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}}}$

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}}}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{x}{3 \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})}}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{x}{3 (\frac{1}{3} \sqrt{9 + x^{2}})}$

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{3 \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3}}$

Step 5

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3}$ .

$\frac{x}{\frac{3 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}}$

Step 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Reduce la expresión $\frac{3 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Cancela el factor común.

$\frac{x}{\frac{3 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{1}}$

Divide $\sqrt{9 + x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$

Step 7

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}}}$

Step 8

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}}$

Eleva $\sqrt{9 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1} \sqrt{9 + x^{2}}}$

Eleva $\sqrt{9 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{9 + x^{2}}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ como $9 + x^{2}$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + x^{2}}$ como ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{{(9 + x^{2})}^{1}}$

Simplifica.

$\frac{x \sqrt{9 + x^{2}}}{9 + x^{2}}$