Trigonometría Ejemplos

$z = 2 + 4 i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = 2$ y $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 2^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4}$

Paso 4.3

Suma $16$ y $4$ .

$| z | = \sqrt{20}$

Paso 4.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$| z | = \sqrt{4 (5)}$

Paso 4.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Paso 4.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 2 \sqrt{5}$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{4}{2})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{4}{2}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $1.10714871$ .

$θ = 1.10714871$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = 1.10714871$ y $| z | = 2 \sqrt{5}$ .

$2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$

Paso 8

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$z = 2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$