Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 x) = \sin (x)$ , $(0, 2 π)$

Step 1

Resta $\sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Step 2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Step 3

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

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Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $2 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $(0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{3} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Suma $\frac{π}{3}$ y $0$ .

$\frac{π}{3}$

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Inserta $1$ en $n$ .

$π (1)$

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $π$ .

$x = \frac{π}{3}, π$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{5 π}{3} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{5 π}{3} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{5 π}{3} + 0$

Suma $\frac{5 π}{3}$ y $0$ .

$\frac{5 π}{3}$

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$