Trigonometría Ejemplos

$\sin (4 x) + \sin (2 x) = 0$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Simplifica cada término.

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Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\sin (2 (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) = 0$

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) = 0$

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

Suma $2$ y $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin (2 x) = 0$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Suma $4 \sin (x) \cos (x)$ y $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$6 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Step 2

Factoriza $2 \sin (x) \cos (x)$ de $6 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Factoriza $2 \sin (x) \cos (x)$ de $6 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Factoriza $2 \sin (x) \cos (x)$ de $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Factoriza $2 \sin (x) \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Step 4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $3 - 4 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 - 4 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Resuelve $3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Divide cada término en $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Simplifica el lado derecho.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (x) \cos (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida las respuestas.

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Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $π n$ y $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$