Trigonometría Ejemplos

$\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (9 - x)) = \ln (20)$

Expande $(1 - x) (9 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (1 (9 - x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $9$ por $1$ .

$\ln (9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\ln (9 - x - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\ln (9 - x - 9 x - x (- x)) = \ln (20)$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (20)$

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Mueve $x$ .

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (20)$

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (20)$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (9 - x - 9 x + 1 x^{2}) = \ln (20)$

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (9 - x - 9 x + x^{2}) = \ln (20)$

Resta $9 x$ de $- x$ .

$\ln (9 - 10 x + x^{2}) = \ln (20)$

Step 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$9 - 10 x + x^{2} = 20$

Step 3

Resuelve $x$

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Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$9 - 10 x + x^{2} - 20 = 0$

Resta $20$ de $9$ .

$- 10 x + x^{2} - 11 = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$- 10 u + u^{2} - 11 = 0$

Factoriza $- 10 u + u^{2} - 11$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 11$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 11, 1$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 11) (u + 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x - 11) (x + 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 1 = 0$

Establece $x - 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 11$ igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 11$

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 11) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 11, - 1$

Step 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$ sea verdadera.

$x = - 1$