Trigonometría Ejemplos

$\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{11}{20} x + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Combina $\frac{11}{20}$ y $x$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Step 3

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{6}$

Step 4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $\frac{π}{12}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} - \frac{π}{12}$

Para escribir $- \frac{π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π \cdot 2 - π}{12}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 2 π - π}{12}$

Resta $π$ de $- 2 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 3 π}{12}$

Cancela el factor común de $- 3$ y $12$ .

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Factoriza $3$ de $- 3 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{12}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 (4)}$

Cancela el factor común.

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 \cdot 4}$

Reescribe la expresión.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π}{4}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{4}$

Step 5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Step 6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

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Cancela el factor común de $20$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Cancela el factor común de $11$ .

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Factoriza $11$ de $11 x$ .

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$ .

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Cancela el factor común de $4$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{11} (- π)$

Combina $\frac{5}{11}$ y $π$ .

$x = - \frac{5 π}{11}$

Step 7

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Step 8

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \frac{7 π}{6}$

Resuelve $x$

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Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $\frac{π}{12}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} - \frac{π}{12}$

Para escribir $\frac{7 π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2 - π}{12}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{14 π - π}{12}$

Resta $π$ de $14 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{13 π}{12}$

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

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Cancela el factor común de $20$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Cancela el factor común de $11$ .

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Factoriza $11$ de $11 x$ .

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$ .

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Cancela el factor común de $4$ .

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Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{11} \cdot \frac{13 π}{3}$

Multiplica $\frac{5}{11}$ por $\frac{13 π}{3}$ .

$x = \frac{5 (13 π)}{11 \cdot 3}$

Multiplica.

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Multiplica $13$ por $5$ .

$x = \frac{65 π}{11 \cdot 3}$

Multiplica $11$ por $3$ .

$x = \frac{65 π}{33}$

Step 9

Obtén el período de $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{11}{20}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{11}{20} |}$

$\frac{11}{20}$ es aproximadamente $0.55$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{11}{20}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{20}{11}$

Multiplica $2 π \frac{20}{11}$ .

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Combina $\frac{20}{11}$ y $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{11} π$

Multiplica $20$ por $2$ .

$\frac{40}{11} π$

Combina $\frac{40}{11}$ y $π$ .

$\frac{40 π}{11}$

Step 10

Suma $\frac{40 π}{11}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $\frac{40 π}{11}$ y $- \frac{5 π}{11}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{5 π}{11} + \frac{40 π}{11}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{40 π - 5 π}{11}$

Resta $5 π$ de $40 π$ .

$\frac{35 π}{11}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{35 π}{11}$

Step 11

El período de la función $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ es $\frac{40 π}{11}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{40 π}{11}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{65 π}{33} + \frac{40 π n}{11}, \frac{35 π}{11} + \frac{40 π n}{11}$ , para cualquier número entero $n$