Trigonometría Ejemplos

$8 \sec^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Step 1

Reemplaza $8 \sec^{2} (x)$ con $8 (1 + \tan^{2} (x))$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$8 (1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot 1 + 8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 + 8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

Step 3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Resta $12$ de $8$ .

$8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Suma $8 \tan^{2} (x)$ y $4 \tan^{2} (x)$ .

$12 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Step 4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$12 \tan^{2} (x) = 4$

Step 5

Divide cada término en $12 \tan^{2} (x) = 4$ por $12$ y simplifica.

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Divide cada término en $12 \tan^{2} (x) = 4$ por $12$ .

$\frac{12 \tan^{2} (x)}{12} = \frac{4}{12}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $12$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{12 \tan^{2} (x)}{12} = \frac{4}{12}$

Divide $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{4}{12}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Factoriza $4$ de $4$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{4 (1)}{12}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Cancela el factor común.

$\tan^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Reescribe la expresión.

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Step 6

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Step 7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 10

Resuelve $x$ en $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Simplifica $π + \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Suma $6 π$ y $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{6}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{6}$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{6} + π n$ y $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{5 π}{6} + π n$ y $\frac{5 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$