Trigonometría Ejemplos

$\cos (3 x) = \cos (x)$

Step 1

Resta $\cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (3 x) - \cos (x) = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Usa la razón del ángulo triple para transformar $\cos (3 x)$ a $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) - \cos (x) = 0$

Resta $\cos (x)$ de $- 3 \cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) = 0$

Step 3

Factoriza $4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4 \cos (x)$ de $4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4 \cos (x)$ de $4 \cos^{3} (x)$ .

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) = 0$

Factoriza $4 \cos (x)$ de $- 4 \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Factoriza $4 \cos (x)$ de $4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1$ .

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = 1$ .

$4 \cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Step 5

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Resuelve $\cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$