Trigonometría Ejemplos

$\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} ((x - 5) (x + 1)) = 1$

Expande $(x - 5) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{7} (x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 1$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 (x + 1)) = 1$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Multiplica $x$ por $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5) = 1$

Resta $5 x$ de $x$ .

$\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$

Step 2

Reescribe $\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{1} = x^{2} - 4 x - 5$

Step 3

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $x^{2} - 4 x - 5 = 7^{1}$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 7$

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x - 5 - 7 = 0$

Resta $7$ de $- 5$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Factoriza $x^{2} - 4 x - 12$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 2$

Step 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$ sea verdadera.

$x = 6$