Trigonometría Ejemplos

$\log_{b} (64) = 3$

Step 1

Reescribe $\log_{b} (64) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 64$

Step 2

Resuelve $b$

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Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$b^{3} - 64 = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$b^{3} - 4^{3} = 0$

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = b$ y $b = 4$ .

$(b - 4) (b^{2} + b \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Simplifica.

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Mueve $4$ a la izquierda de $b$ .

$(b - 4) (b^{2} + 4 b + 4^{2}) = 0$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(b - 4) (b^{2} + 4 b + 16) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$b - 4 = 0$

$b^{2} + 4 b + 16 = 0$

Establece $b - 4$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Establece $b - 4$ igual a $0$ .

$b - 4 = 0$

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 4$

Establece $b^{2} + 4 b + 16$ igual a $0$ y resuelve $b$ .

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Establece $b^{2} + 4 b + 16$ igual a $0$ .

$b^{2} + 4 b + 16 = 0$

Resuelve $b^{2} + 4 b + 16 = 0$ en $b$ .

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Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $b$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Resta $64$ de $16$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $16$ de $48$ .

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$b = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$b = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$b = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(b - 4) (b^{2} + 4 b + 16) = 0$ verdadera.

$b = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$