Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $e^{x} - e^{- x}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

Paso 3.2

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Paso 3.3

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

Paso 3.4.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

Paso 3.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

Paso 3.5

Resuelve $u$

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Paso 3.5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 3.5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 3.5.2

Multiplica cada término en $4 u - \frac{4}{u} = 1$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica cada término en $4 u - \frac{4}{u} = 1$ por $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

Paso 3.5.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

Paso 3.5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.5.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{u}$ al numerador.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Paso 3.5.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Paso 3.5.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Multiplica $u$ por $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

Paso 3.5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.3.1

Resta $u$ de ambos lados de la ecuación.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

Paso 3.5.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.3.3

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 1$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.4

Simplifica.

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Paso 3.5.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.3.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

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Paso 3.5.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.4.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.4.1.3

Suma $1$ y $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

Paso 3.5.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Paso 3.6

Sustituye $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Paso 3.7

Resuelve $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Paso 3.7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Paso 3.7.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.7.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Paso 3.7.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Paso 3.7.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Paso 3.8

Sustituye $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Paso 3.9

Resuelve $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

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Paso 3.9.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Paso 3.9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

Paso 3.9.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.9.4

No hay soluciones para $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

No hay solución

Paso 3.10

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Forma decimal:

$x = 0.12467674 \dots$