Trigonometría Ejemplos

$3 \cos (2 x) = 2 - \sin (x)$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \cos (2 x) - 2 = - \sin (x)$

Suma $\sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \cos (2 x) - 2 + \sin (x) = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Simplifica cada término.

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Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$3 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 + \sin (x) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 + \sin (x) = 0$

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 + \sin (x) = 0$

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$3 - 6 \sin^{2} (x) - 2 + \sin (x) = 0$

Resta $2$ de $3$ .

$1 - 6 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Step 3

Factoriza por agrupación.

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Reordena los términos.

$- 6 \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 = 0$

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 6 \cdot 1 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Multiplica por $1$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 = 0$

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$- 6 \sin^{2} (x) + (- 2 + 3) \sin (x) + 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 3 \sin (x) + 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 3 \sin (x) + 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 \sin (x) (- 3 \sin (x) - 1) - (- 3 \sin (x) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 \sin (x) - 1$ .

$(- 3 \sin (x) - 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 3 \sin (x) - 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Step 5

Establece $- 3 \sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $- 3 \sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$- 3 \sin (x) - 1 = 0$

Resuelve $- 3 \sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 \sin (x) = 1$

Divide cada término en $- 3 \sin (x) = 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 3 \sin (x) = 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 3}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{3}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x = - 0.3398369$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

El ángulo resultante de $3.48142956$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 3.48142956$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- 0.3398369$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.3398369 + 2 π$

Resta $0.3398369$ de $2 π$ .

$5.94334839$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 5.94334839$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Resuelve $2 \sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = 1$

Divide cada término en $2 \sin (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- 3 \sin (x) - 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$