Trigonometría Ejemplos

$2 - 2 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$

Step 1

Resta $4 \cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 - 2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Step 2

Reemplaza $- 4 \cos^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 - 2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Step 3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - 2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 - 2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$2 - 2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Step 4

Resta $4$ de $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Step 5

Reordena el polinomio.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 2 = 0$

Step 6

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} - 2 u - 2 = 0$

Step 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4 u^{2} - 2 u - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) - 2 u - 2 = 0$

Factoriza $2$ de $- 2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- u) - 2 = 0$

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- u) + 2 (- 1) = 0$

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 (- u)$ .

$2 (2 u^{2} - u) + 2 (- 1) = 0$

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2} - u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Step 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Step 9

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $2 u + 1$ igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Resuelve $2 u + 1 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 1$

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{2}$

Step 10

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Step 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Step 12

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Step 13

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = 1$

Step 14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 15

Resuelve $x$ en $\sin (x) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 16

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 17

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$