Trigonometría Ejemplos

$2 + 2 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$

Step 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2$

Step 2

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sin (x))}^{2} = {(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$

Step 3

Simplifica ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

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Aplica la regla del producto a $2 \sin (x)$ .

$2^{2} \sin^{2} (x) = {(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 \sin^{2} (x) = {(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$

Step 4

Simplifica ${(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$ .

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Reescribe ${(4 \cos^{2} (x) - 2)}^{2}$ como $(4 \cos^{2} (x) - 2) (4 \cos^{2} (x) - 2)$ .

$4 \sin^{2} (x) = (4 \cos^{2} (x) - 2) (4 \cos^{2} (x) - 2)$

Expande $(4 \cos^{2} (x) - 2) (4 \cos^{2} (x) - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x) - 2) - 2 (4 \cos^{2} (x) - 2)$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x) - 2)$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 {\cos (x)}^{2 + 2} + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Suma $2$ y $2$ .

$4 \sin^{2} (x) = 4 \cdot 4 \cos^{4} (x) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Multiplica $4$ por $4$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) + 4 \cos^{2} (x) \cdot - 2 - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 2 (4 \cos^{2} (x)) - 2 \cdot - 2$

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 2 \cdot - 2$

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 4$

Resta $8 \cos^{2} (x)$ de $- 8 \cos^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) = 16 \cos^{4} (x) - 16 \cos^{2} (x) + 4$

Step 5

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $16 \cos^{4} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) = - 16 \cos^{2} (x) + 4$

Suma $16 \cos^{2} (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 4$

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

Step 6

Simplifica $4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) - 4$ .

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Mueve $- 4$ .

$4 \sin^{2} (x) - 4 - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Reordena $4 \sin^{2} (x)$ y $- 4$ .

$- 4 + 4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Factoriza $- 4$ de $- 4$ .

$- 4 (1) + 4 \sin^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Factoriza $- 4$ de $4 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x)) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Factoriza $- 4$ de $- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 4 (1 - \sin^{2} (x)) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$- 4 \cos^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x) = 0$

Suma $- 4 \cos^{2} (x)$ y $16 \cos^{2} (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) - 16 \cos^{4} (x) = 0$

Step 7

Resuelve $x$

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Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Reescribe $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

$12 \cos^{2} (x) - 16 {(\cos^{2} (x))}^{2} = 0$

Sea $u = \cos^{2} (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos^{2} (x)$ .

$12 u - 16 u^{2} = 0$

Factoriza $4 u$ de $12 u - 16 u^{2}$ .

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Factoriza $4 u$ de $12 u$ .

$4 u (3) - 16 u^{2} = 0$

Factoriza $4 u$ de $- 16 u^{2}$ .

$4 u (3) + 4 u (- 4 u) = 0$

Factoriza $4 u$ de $4 u (3) + 4 u (- 4 u)$ .

$4 u (3 - 4 u) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) (3 - 4 \cos^{2} (x)) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Establece $\cos^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos^{2} (x)$ igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Resuelve $\cos^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm 0$

Más o menos $0$ es $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Establece $3 - 4 \cos^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 - 4 \cos^{2} (x)$ igual a $0$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Resuelve $3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Simplifica el lado derecho.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Simplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{6} + 2 π n$ y $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 \cos^{2} (x) (3 - 4 \cos^{2} (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida las respuestas.

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Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $2 + 2 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$ y resolución.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$