Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

Step 1

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

Step 2

Reordena el polinomio.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 5 (\cos (x) + 1)$

Step 3

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 5 ((u) + 1)$

Step 4

Simplifica $5 (u + 1)$ .

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Reescribe.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 5 (u + 1)$

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- u^{2} + 1 = 5 (u + 1)$

Aplica la propiedad distributiva.

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5 \cdot 1$

Multiplica $5$ por $1$ .

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5$

Step 5

Resta $5 u$ de ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + 1 - 5 u = 5$

Step 6

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + 1 - 5 u - 5 = 0$

Step 7

Resta $5$ de $1$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

Step 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2} - 5 u - 4$ .

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 5 u$ .

$- u^{2} - (5 u) - 4 = 0$

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$- u^{2} - (5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} - (5 u)$ .

$- (u^{2} + 5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} + 5 u) - 1 (4)$ .

$- (u^{2} + 5 u + 4) = 0$

Factoriza.

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Factoriza $u^{2} + 5 u + 4$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u + 1) (u + 4)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u + 1) (u + 4) = 0$

Step 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Step 10

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 11

Establece $u + 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 4$ igual a $0$ .

$u + 4 = 0$

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 4$

Step 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u + 1) (u + 4) = 0$ verdadera.

$u = - 1, - 4$

Step 13

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 1, - 4$

Step 14

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = - 4$

Step 15

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 1$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 16

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 4$ .

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El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 4$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 17

Enumera todas las soluciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$