Trigonometría Ejemplos

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Expande $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\cot (x)$ por $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Reescribe $- 1 \csc (x)$ como $- \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Step 2

Factoriza $\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ .

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Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\csc (x) + 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Step 4

Establece $\csc (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\csc (x) + 1$ igual a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Resuelve $\csc (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = - 1$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $\cot (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cot (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Resuelve $\cot (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cot (x) = 1$

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$