Trigonometría Ejemplos

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Step 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{1}{2})$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{3}$

Step 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Step 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Step 5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

Step 6

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{3})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{3})$

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = 2 \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

Multiplica $2 \frac{5 π}{3}$ .

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Combina $2$ y $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

Multiplica $5$ por $2$ .

$x = \frac{10 π}{3}$

Step 7

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Step 8

El período de la función $\cos (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$