Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 3

Reescribe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Step 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{1}{\cos (x)}$ y $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Step 5

Simplifica los términos.

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Simplifica cada término.

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Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Simplifica cada término.

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Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Step 6

Expande $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Step 7

Simplifica los términos.

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Combina los términos opuestos en $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Reordena los factores en los términos $\sec (x) (- \tan (x))$ y $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Suma $- \sec (x) \tan (x)$ y $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Suma $\sec (x) \sec (x)$ y $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Suma $1$ y $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Multiplica $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Step 8

Aplica la identidad pitagórica.

$1$