Trigonometría Ejemplos

$\cos (105) \sin (75)$

Step 1

El valor exacto de $\cos (105)$ es $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (75) \sin (75)$

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \cos (30 + 45) \sin (75)$

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (75)$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Simplifica $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Combina con la regla del producto para radicales.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Multiplica $3$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (75)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (75)$

Step 2

El valor exacto de $\sin (75)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30 + 45)$

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Step 3

Multiplica $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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Expande $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $2$ por $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Evalúa el exponente.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $6$ por $6$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Resta $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{0 - 2 + 6}{16}$

Resta $2$ de $0$ .

$- \frac{- 2 + 6}{16}$

Suma $- 2$ y $6$ .

$- \frac{4}{16}$

Step 5

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{16}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $4$ de $16$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$