Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 \arccos (x))$

Step 1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

Step 2

Simplifica cada término.

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Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\arccos (x))$ es $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Reescribe la expresión.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Simplifica.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Multiplica $- x$ por $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Mueve $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Suma $- x$ y $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Suma $1$ y $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Step 3

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$