Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (\frac{π}{12})$

Step 1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

${(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Combina con la regla del producto para radicales.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Reescribe ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Step 3

Expande $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Step 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Reescribe la expresión.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Evalúa el exponente.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Resta $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Step 5

Cancela el factor común de $8 - 4 \sqrt{3}$ y $16$ .

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Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Factoriza $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Factoriza $4$ de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.06698729 \dots$