Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (15)$

Step 1

El valor exacto de $\cos (15)$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\cos^{2} (45 - 30)$

Separa la negación.

$\cos^{2} (45 - (30))$

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2}$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2}$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2}$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Combina con la regla del producto para radicales.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Reescribe ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Step 3

Expande $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Step 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Suma $6$ y $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Step 5

Cancela el factor común de $8 + 4 \sqrt{3}$ y $16$ .

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Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Factoriza $4$ de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.93301270 \dots$