Trigonometría Ejemplos

$\csc (x) = \frac{\cot (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{\cot (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Simplifica el numerador.

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Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)}{\sec (x)}$

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sec (x)}$

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x)$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x)$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} + \sin (x)$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \sin (x)$

Para escribir $\sin (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\sin (x)}$

Step 5

Reescribe $\frac{1}{\sin (x)}$ como $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Step 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\csc (x) = \frac{\cot (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$ es una identidad