Trigonometría Ejemplos

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

Step 2

Multiplica $\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ por $\frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$ .

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$

Step 3

Combinar.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x) - 1)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x) \cdot - 1}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - 1 \cdot \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Reescribe $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Reordena los factores en $\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Step 5

Simplifica el denominador.

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Expande $(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x) - 1) - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x)) - 1 \cdot - 1}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Step 6

Aplica la identidad pitagórica.

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Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Step 7

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x)}$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Step 8

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Multiplica $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Suma $1$ y $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Para escribir $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\cos (x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Suma $1$ y $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Factoriza $- \sin (x)$ de $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

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Factoriza $- \sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Factoriza $- \sin (x)$ de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Factoriza $- \sin (x)$ de $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sin (x) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Factoriza $\sin (x)$ de ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Cancela el factor común de ${\cos (x)}^{2}$ .

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Factoriza ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Reescribe la expresión.

$- 1 (1 + \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$(- 1 - \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(- 1 - \cos (x)) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)}) - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Multiplica $- 1 (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Multiplica $- \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Step 9

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Step 10

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Step 11

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Step 12

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$ es una identidad