Trigonometría Ejemplos

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Step 2

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Para escribir $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Reordena los factores de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Reordena los factores en $\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 6

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ al numerador.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Suma $- \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Suma $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $0$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Factoriza $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ .

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Factoriza $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Para escribir $\cos (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Combinar.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Cancela el factor común de $\sin (x)$ y ${\sin (x)}^{2}$ .

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Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $\sin (x)$ de $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Multiplica $1 + {\cos (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Step 8

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

Step 9

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Step 10

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Step 11

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (x) \cos (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Reordena los factores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Step 12

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Step 13

Reordena los términos.

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Step 14

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$ es una identidad