Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Para escribir $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Para escribir $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Reordena los factores de $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Reescribe $\sin^{2} (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)$ en forma factorizada.

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Reorganiza los términos.

$\frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Cancela el factor común de $\cos (x) + 1$ y $1 + \cos (x)$ .

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Reordena los términos.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Cancela el factor común.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sin (x)}$

Step 3

Reescribe $\frac{1}{\sin (x)}$ como $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Step 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$ es una identidad