Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Step 2

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Para escribir $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Multiplica $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Reordena los factores de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \cos (x) + 1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - \cos (x) + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Suma $- \cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2}{\sin^{2} (x)}$

Step 6

Reescribe $\frac{2}{\sin^{2} (x)}$ como $2 \csc^{2} (x)$ .

$2 \csc^{2} (x)$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$ es una identidad