Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Step 2

Resta de fracciones.

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Para escribir $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Para escribir $- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Multiplica $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Reordena los factores de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Resta $\cos (x)$ de $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Resta $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 8

Combinar.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Step 9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Step 10

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 12

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Step 13

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Step 14

Simplifica.

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Combina $- 2$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Multiplica $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 15

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ es una identidad